Как уже было сказано выше ортогональное проецирование — это частный случай параллельного проецирования. При ортогональном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций.
Аппарат такого проецирования состоит из одной плоскости проекций.
Чтобы получить ортогональную проекцию точки А, через неё надо провести проецирующий луч перпендикулярно к П1. Точка А1 называется ортогональной или прямоугольной проекцией точки А.
Чтобы получить ортогональную проекцию А 1 В 1 отрезка АВ , на плоскость П 1 , необходимо через точки А и В провести проецирующие прямые, перпендикулярные П 1 . При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П 1 получатся ортогональные проекции А 1 и В 1 точек А и В . Соединив ортогональные проекции А 1 и В 1 получим ортогональную проекцию А 1 В 1 отрезка АВ .
Все свойства параллельного проецирования выполнимы и для ортогонального проецирования. Однако ортогональные проекции обладают ещё некоторыми свойствами.
Свойства ортогонального проецирования:
1. Длина отрезка равна длине его проекции, делённой на косинус угла наклона отрезка к плоскости проекций.
Возьмём прямую АВ и построим её ортогональную проекцию А 1 В 1 на плоскость П 1 . Если провести прямую АС || А 1 В 1 , то из треугольника АВС следует, что |АС| : |АВ| = cos a или |АВ| = |А 1 В 1 | : cos a , т. к. |А 1 В 1 | = |АС| .
2. Кроме того, для ортогонального проецирования будет справедлива теорема о проецировании прямого угла:
Теорема: Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.
Доказательство:
Дан прямой угол АВС , у которого по условию прямая ВС АВ и ВС || плоскости проекций П 1 . По построению прямая ВС к проецирующему лучу ВВ 1 . Следовательно, прямая ВС к плоскости b (АВхВВ1) , т. к. она к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. По условию прямая В 1 С 1 || ВС , поэтому тоже к плоскости b , т. е. и прямой А 1 В 1 этой плоскости. Следовательно, угол между прямыми А 1 В 1 и В 1 С 1 равен 90°, что и требовалось доказать.
Ортогональное проецирование обеспечивает простоту геометрических построений при определении ортогональных проекций точек, а так же возможность сохранять на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры. Эти достоинства обеспечили ортогональному проецированию широкое применение в техническом черчении.
Рассмотренные методы проецирования позволяют решить прямую задачу начертательной геометрии, т. е. по оригиналу построить плоский чертёж. Полученные таким образом проекции на одну плоскость дают неполное представление о предмете, его форме и положении в пространстве, т. е. такой чертёж не обладает свойством обратимости.
Чтобы получить обратимый чертеж, т.е. чертеж дающий полное представление о форме, размерах и положении оригинала в пространстве, однокартинный чертеж дополняют. В зависимости от дополнения существуют различные виды чертежей.
- Эпюр Монжа или ортогональные проекции. Суть метода ортогональные (прямоугольных) проекций состоит в том, что оригинал ортогонально проецируют на 2 или 3 взаимно-ортогональные плоскости проекций, а затем совмещают их с плоскостью чертежа.
- Аксонометрический чертеж. Суть аксонометрического чертежа в том, что сначала оригинал жестко связывают с декартовой системой координат OXYZ , ортогонально проецируют его на одну из плоскостей проекций OXY , или OXZ . Затем параллельным проецированием находят параллельную проекцию полученной конструкции: осей координат OX, OY, OZ, вторичной проекции и оригинала.
- Перспективный чертеж. При построении перспективного чертежа сначала строят одну ортогональную проекцию, а затем на картинной плоскости находят центральную проекцию построенной ранее ортогональной проекции и самого оригинала.
- Проекции с числовыми отметками и др. Чтобы получить проекции с числовыми отметками ортогонально проецируют оригинал на плоскость нулевого уровня и указывают расстояние от точек оригинала до этой плоскости.
Более подробно остановимся на изучении прямоугольных проекций и аксонометрическом чертеже.
Пусть на плоскости заданы прямая L и точка A. Опустим из точки A на прямую L перпендикуляр (рис. 1.8, а). Тогда его основание (точку O) называют ортогональной проекцией точки A на прямую L . Если прямая L и точка A заданы в пространстве, то в этом случае ортогональной проекцией точки A на прямую L называют точку O пересечения прямой L с перпендикулярной ей плоскостью, проходящей через точку A (рис. 1.8, б). Если точка A лежит на прямой L, то она совпадает со своей ортогональной проекцией на L.
Для вектора - AB (на плоскости или в пространстве) можно построить ортогональные проекции на прямую L его начала и конца (рис. 1.9). Вектор O A O B , соединяющий эти проекции O A и O B и лежащий на прямой L, называют ортогональной проекцией вектора AB на прямую L.
Прямую, на которой задано одно из двух возможных направлений, называют осью . Выбранное направление на оси изображают с помощью стрелки на соответствующем конце оси. Ортогональную проекцию O A O B вектора AB на ось l можно полностью описать длиной вектора O A O B , приписав ей знак,
указывающий направление вектора. Если направление O A O B совпадает с заданным направлением оси, то берут знак плюс, а если направление вектора противоположно направлению оси, то берут знак минус. Длину вектора O A O B со знаком, определяющим направление этого вектора, называют ортогональной проекцией вектора AB на ось l и обозначают пр l а.
Обратим внимание на то, что ортогональной проекцией вектора на ось является число, в то время как ортогональная проекция вектора на прямую - это вектор. Чтобы вектору соответствовало число как его проекция, на прямой нужно выбрать одно из двух возможных направлений.
Каждый ненулевой вектор l однозначно определяет ось: его можно рассматривать расположенным на некоторой прямой и задающим на ней направление. Ортогональную проекцию вектора на такую ось называют ортогональной проекцией этого вектора на направление вектора l.
Угол между направлениями двух ненулевых векторов называют углом между этими векторами . Угол может изменяться в пределах от 0 до π. Крайние значения 0 и π отвечают коллинеарным векторам , соответственно однонаправленным и противоположно направленным . Если хотя бы один из двух векторов является нулевым , то угол между такими векторами не определен. Удобно, однако, считать, что в этом случае угол имеет произвольное значение. Так, нулевой вектор коллинеарен любому другому, что формально соответствует углу 0 (или π). Конкретное значение, приписываемое углу между нулевым вектором и каким-либо другим, выбирают исходя из ситуации.
Теорема 1.1. Ортогональная проекция вектора а на направление ненулевого вектора l равна длине |а|, умноженной на косинус угла φ между векторами а и l, т.е.
пр l = а|а| cos
где - угол между векторами а и l
◄ Пусть вектор l лежит на прямой L, а его началом является точка A. Совместим начало вектора а с точкой A, и пусть его концом будет точка B (рис. 1.10). Построим ортогональную проекцию C точки B на прямую L. Тогда вектор AC является ортогональной проекцией вектора а = AB на прямую L.
Если угол φ между векторами а и l острый (как это показано на рис. 1.10, а), то конец вектора l и точка C лежат по одну сторону от точки A. В этом случае проекция а на направление вектора l равна длине |AC| = |AB| cosφ катета AC треугольника ABC.
Если угол φ тупой (см. рис. 1.10, б), то конец вектора l и точка C лежат по разные стороны от точки A. Это значит, что векторы AC и l имеют противоположные направления, а проекция вектора а равна - |AC|. В треугольнике ABC угол ψ, прилежащий к катету AC, равен π - φ, поэтому |AC| = |AB| cos(π - φ) = - |AB| cosφ.
Если же φ = π/2 или а = 0, то точка C совпадает с точкой A и вектор AC является нулевым вектором. Однако cosπ/2 = 0, следовательно, и в этом случае утверждение теоремы справедливо.
Теорема 1.2. Ортогональная проекция суммы векторов на направление ненулевого вектора равна сумме их ортогональных проекций на направление этого вектора, а при умножении вектора на число его ортогональная проекция на направление ненулевого вектора умножается на то же число:
пр l (а + b) = пр l а + пр l b, пр l (λа) - λпр l а.
◄ Доказательство следует из рис. 1.11. В случае, изображенном на рис. 1.11, а, имеем пр l а = |AB|, пр l b = -|BC|, пр l (а + b) = |AC| = |AB| - |BC|. В случае, изображенном на рис. 1.11, б, пр l а = |AB| и, если λ > 0, пр l (λа) = |AE| = λ|AB|. Остальные варианты (точка C не принадлежит отрезку AB в случае а, λ ≤ 0 в случае б) рассматриваются аналогично.
Урок геометрии в 10 классе
На этом уроке вы продолжите изучение прямых и плоскостей; узнаете, как находится угол между прямой и плоскостью. Вы познакомитесь с понятием ортогональной проекции на плоскость и рассмотрите ее свойства. На уроке будут даны определения расстояния от точки до плоскости и от точки до прямой, угла между прямой и плоскостью. Будет доказана знаменитая теорема о трех перпендикулярах.
Ортогональной проекцией точки А на данную плоскость называется проекция точки на эту плоскость параллельно прямой, перпендикулярной этой плоскости. Ортогональная проекция фигуры на данную плоскость p состоит из ортогональных проекций на плоскость p всех точек этой фигуры.
Ортогональная проекция часто используется для изображения пространственных тел на плоскости, особенно в технических чертежах. Она дает более реалистическое изображение, чем произвольная параллельная проекция, особенно круглых тел.
Пусть через точку А, не принадлежащую плоскости p, проведена прямая, перпендикулярная этой плоскости и пересекающая ее в точке В. Тогда отрезок АВ называется перпендикуляром, опущенным из точки А на эту плоскость, а сама точка В - основанием этого перпендикуляра. Любой отрезок АС, где С - произвольная точка плоскости p, отличная от В, называется наклонной к этой плоскости.
Заметим, что точка В в этом определении является ортогональной проекцией точки А, а отрезок АС - ортогональной проекцией наклонной AВ. Ортогональные проекции обладают всеми свойствами обычных параллельных проекций, но имеют и ряд новых свойств.
Пусть из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и несколько наклонных. Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость.
2. Равные наклонные имеют и равные ортогональные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие равные проекции, также равны.
3. Одна наклонная длиннее другой тогда и только тогда, когда ортогональная проекция первой наклонной длиннее ортогональной проекции второй наклонной.
Угол между наклонной AB и плоскостью DAC равен 30* - єто угол BAC Угол DAB равен 45 (треугольник DAB - прямоугольный равнобедренный), значит DA=BDBA=DA*корень(2) AC=AB*cos (BAC)=AB*сos 30=DA*корень(2)*корень(3)/2==DA*корень(6)/2 по теореме о трех перпендикулярах DC перпендикулярно АDcos (CAD)= cos (AD, AC)=AD/AC=AD/(DA*корень(6)/2)=2/корень(6)=корень(2/3) угол САВ=arccos (2/3)Похожие задачи:
Сторона AB ромба ABCD равна а, один из углов равен 60 градусов. Через сторону AB проведена плоскость альфа на расстоянии a/2 от точки D.
а)найти расстояние от точки C до плоскости альфа.
б)покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DABM. M принадлежит альфа.
в) Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью альфа.
Сторона AB ромба ABCD равна а, один из углов равен 60 градусов. Через сторону AB проведена плоскость альфа на расстоянии a/2 от точки D. а)найти расстояние от точки C до плоскости альфа. б)покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DABM. M принадлежит альфа. в) Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью альфа.
Сторона АВ ромба ABCD равна a, а один из его углов равен 60гр. Через сторону АВ проведена плоскость альфа на расстоянии а2 от точки D.
а) Найти расстояние от точки С до плоскости альфа.
б) Показать на рисунке линейный угол двугранного угла DABM, M принадлежит пл. альфа.
в) Найти синус угла между плоскостью ромба и плоскостью альфа.
Урок геометрии в 10 классе
На одном из предыдущих уроков вы познакомились с понятием проекции точки на данную плоскость параллельно данной прямой.
На этом уроке вы продолжите изучение прямых и плоскостей; узнаете, как находится угол между прямой и плоскостью. Вы познакомитесь с понятием ортогональной проекции на плоскость и рассмотрите ее свойства. На уроке будут даны определения расстояния от точки до плоскости и от точки до прямой, угла между прямой и плоскостью. Будет доказана знаменитая теорема о трех перпендикулярах.
Ортогональная проекция
Ортогональная проекция точки и фигуры.
Ортогональная проекция детали.
Ортогональной проекцией точки А на данную плоскость называется проекция точки на эту плоскость параллельно
прямой, перпендикулярной этой плоскости. Ортогональная проекция
фигуры на данную плоскость p состоит из ортогональных проекций на плоскость p всех точек этой фигуры. Ортогональная проекция часто используется для изображения пространственных тел на плоскости, особенно в технических чертежах. Она дает более реалистическое изображение, чем произвольная параллельная проекция, особенно круглых тел.
Перпендикуляр и наклонная
Пусть через точку А, не принадлежащую плоскости p, проведена прямая, перпендикулярная этой плоскости и пересекающая ее в точке В. Тогда
отрезок АВ называется
перпендикуляром, опущенным из точки
А на эту плоскость, а сама точка В - основанием этого перпендикуляра. Любой отрезок АС, где С -
произвольная точка плоскости p, отличная от В, называется наклонной к
этой плоскости.
Заметим, что точка В в этом определении является ортогональной
проекцией точки А, а отрезок АС - Перпендикуляр и наклонная. ортогональной проекцией наклонной AВ.
Ортогональные проекции обладают всеми свойствами обычных параллельных проекций, но имеют и ряд новых свойств.
Пусть из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и несколько наклонных. Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость.
2. Равные наклонные имеют и равные ортогональные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие равные проекции, также равны.
3. Одна наклонная длиннее другой тогда и только тогда, когда ортогональная проекция первой наклонной длиннее ортогональной проекции второй наклонной.
Свойства ортогональной проекции
Доказательство.
Пусть из точки А к плоскости p проведены перпендикуляр АВ и две наклонные АС и AD; тогда отрезки ВС и BD - ортогональные проекции этих отрезков на плоскость p.
Докажем первое утверждение: любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость. Рассмотрим, например, наклонную AС и треугольник ABC, образованный перпендикуляром AВ, этой наклонной AС, и ее ортогональной проекцией ВС. Этот треугольник прямоугольный с прямым углом в вершине В и гипотенузой AС, которая, как мы знаем из планиметрии, длиннее каждого из катетов, т.е. и перпендикуляра AВ, и проекции ВС.
Из точки А к плоскости pi проведены перпендикуляр АВ и две наклонные AC и AD.
Свойства ортогональной проекции
Треугольники
ABC и ABD
равны по катету и гипотенузе.
Теперь докажем второе утверждение, а именно: равные наклонные имеют и равные ортогональные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие равные проекции, также равны.
Рассмотрим прямоугольные треугольники AВС и ABD. Они
имеют общий катет AВ. Если наклонные AС и AD равны, то прямоугольные треугольники AВС и AВD равны по катету и гипотенузе, и тогда BC=BD. Обратно, если равны проекции ВС и BD, то эти же треугольники равны по двум катетам, и тогда у них равны и гипотенузы AС и AD.
противоречит условию. Если ВС < BD, как мы только что доказали, АС < AD, что опять противоречит условию.
Остается третья возможность: ВС > BD. Теорема доказана.
Если ВС больше BD,
то АС больше стороны
АЕ, равной AD.