Пусть требуется

(2x 3 – 7x 2 + x + 1) ÷ (2x – 1).

Здесь дано произведение (2x 3 – 7x 2 + x + 1) и один множитель (2x – 1), – надо найти другой множитель. В данном примере сразу ясно (но вообще этого установить нельзя), что и другой, искомый, множитель, или частное, есть многочлен. Это ясно потому, что данное произведение имеет 4 члена, а данный множитель лишь 2. Однако, сказать заранее, сколько членов у искомого множителя – нельзя: может быть 2 члена, 3 члена и т. д. Вспоминая, что старший член произведения всегда получается от умножения старшего члена одного множителя на старший член другого (см. умножение многочлена на многочлен) и что членов, подобных этому, быть не может, мы уверены, что 2x 3 (старший член данного произведения) получится от умножения 2x (старший член данного множителя) на неизвестный старший член искомого множителя. Чтобы найти последний, придется, следовательно, разделить 2x 3 на 2x – получим x 2 . Это и есть старший член частного.

Вспомним затем, что при умножении многочлена на многочлен приходится каждый член одного многочлена умножать на каждый член другого. Поэтому данное произведение (2x 3 – 7x 2 + x + 1) представляет собою произведение делителя (2x – 1) на все члены частного. Но мы можем теперь найти произведение делителя на первый (старший) член частного, т. е. (2x – 1) ∙ x 2 ; получим 2x 3 – x 2 . Зная произведение делителя на все члены частного (оно = 2x 3 – 7x 2 + x + 1) и зная произведение делителя на 1-ый член частного (оно = 2x 3 – x 2), вычитанием мы можем найти произведение делителя на все остальные, кроме 1-го, члены частного. Получим

(2x 3 – 7x 2 + x + 1) – (2x 3 – x 2) = 2x 3 – 7x 2 + x + 1 – 2x 3 + x 2 = –6x 2 + x + 1.

Старший член (–6x 2) этого оставшегося произведения должен представлять собою произведение старшего члена делителя (2x) на старший член остального (кроме 1-го члена) частного. Отсюда найдем старший член остального частного. Надо –6x 2 ÷ 2x, получим –3x. Это и есть второй член искомого частного. Мы можем опять найти произведение делителя (2x – 1) на второй, только что найденный, член частного, т. е. на –3x.

Получим (2x – 1) ∙ (–3x) = –6x 2 + 3x. Из всего данного произведения мы уже вычли произведение делителя на 1-ый член частного и получили остаток –6x 2 + x + 1, представляющий собою произведение делителя на остальные, кроме 1-го, члены частного. Вычитая из него только что найденное произведение –6x 2 + 3x, получим остаток, представляющий собою произведение делителя на все остальные, кроме 1-го и 2-го, члены частного:

–6x 2 + x + 1 – (–6x 2 + 3x) = –6x 2 + x + 1 + 6x 2 – 3x = –2x + 1.

Разделив старший член этого оставшегося произведения (–2x) на старший член делителя (2x), получим старший член остального частного, или его третий член, (–2x) ÷ 2x = –1, – это и есть 3-й член частного.

Умножив на него делителя, получим

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

Вычтя это произведение делителя на 3-й член частного из всего оставшегося до сих пор произведения, т. е.

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

мы увидим, что в нашем примере произведение делится на остальные, кроме 1-го, 2-го и 3-го, члены частного = 0, откуда заключаем, что у частного больше членов нет, т. е.

(2x 3 – 7x 2 + x + 1) ÷ (2x – 1) = x 2 – 3x – 1.

Из предыдущего мы видим: 1) удобно располагать члены делимого и делителя по нисходящим степеням, 2) необходимо установить какой-либо порядок для выполнения вычислений. Таким удобным порядком можно считать тот, который употребляется в арифметике при делении многозначных чисел. Следуя ему, все предыдущие вычисления расположим так (сбоку даны еще краткие пояснения):

Те вычитания, какие здесь нужны, выполняются переменою знаков у членов вычитаемого, причем эти переменные знаки пишутся сверху.

Так, написано

Это значит: вычитаемое было 2x 3 – x 2 , а после перемены знаков получили –2x 3 + x 2 .

Благодаря принятому расположению вычислений, благодаря тому, что члены делимого и делителя расположены по нисходящим степеням и благодаря тому, что степени буквы x в обоих многочленах идут, понижаясь всякий раз на 1, оказалось, что подобные члены приходятся написанными друг под другом (напр.: –7x 2 и +x 2), почему легко выполнить их приведение. Можно подметить, что не все члены делимого нужны во всякий момент вычисления. Напр., член +1 не нужен в тот момент, где был найден 2-й член частного, и эту часть вычислений можно упростить.

Еще примеры:

1. (2a 4 – 3ab 3 – b 4 – 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

Расположим по нисходящим степеням буквы a и делимое и делитель:

(Заметим, что здесь, благодаря отсутствию в делимом члена с a 3 , в первом вычитании оказалось, что подписаны друг под другом не подобные члены –a 2 b 2 и –2a 3 b. Конечно, они не могут быть приведены в один член и написаны под чертою оба по старшинству).

В обоих примерах надо внимательнее относиться к подобным членам: 1) друг под другом часто оказываются написанными не подобные члены и 2) иногда (как, напр., в последнем примере, члены –4a n и –a n при первом вычитании) подобные члены выходят написанными не друг под другом.

Возможно выполнять деление многочленов в ином порядке, а именно: всякий раз разыскивать младший член или всего или остающегося частного. Удобно в этом случае располагать данные многочлены по восходящим степеням какой-либо буквы. Напр.:

При решении уравнений и неравенств нередко возникает необходимость разложить на множители многочлен, степень которого равна трем или выше. В этой статье мы рассмотрим, каким образом это сделать проще всего.

Как обычно, обратимся за помощью к теории.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена на двучлен равен .

Но для нас важна не сама теорема, а следствие из нее:

Если число является корнем многочлена , то многочлен делится без остатка на двучлен .

Перед нами стоит задача каким-то способом найти хотя бы один корень многочлена, потом разделить многочлен на , где - корень многочлена. В результате мы получаем многочлен, степень которого на единицу меньше, чем степень исходного. А потом при необходимости можно повторить процесс.

Эта задача распадается на две: как найти корень многочлена, и как разделить многочлен на двучлен .

Остановимся подробнее на этих моментах.

1. Как найти корень многочлена.

Сначала проверяем, являются ли числа 1 и -1 корнями многочлена.

Здесь нам помогут такие факты:

Если сумма всех коэффициентов многочлена равна нулю, то число является корнем многочлена.

Например, в многочлене сумма коэффициентов равна нулю: . Легко проверить, что является корнем многочлена.

Если сумма коэффициентов многочлена при четных степенях равна сумме коэффициентов при нечетных степенях, то число является корнем многочлена. Свободный член считается коэффициентом при четной степени, поскольку , а - четное число.

Например, в многочлене сумма коэффициентов при четных степенях : , и сумма коэффициентов при нечетных степенях : . Легко проверить, что является корнем многочлена.

Если ни 1, ни -1 не являются корнями многочлена, то двигаемся дальше.

Для приведенного многочлена степени (то есть многочлена, в котором старший коэффициент - коэффициент при - равен единице) справедлива формула Виета:

Где - корни многочлена .

Есть ещё формул Виета, касающихся остальных коэффициентов многочлена, но нас интересует именно эта.

Из этой формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также является целым числом.

Исходя из этого, нам надо разложить свободный член многочлена на множители, и последовательно, от меньшего к большему, проверять, какой из множителей является корнем многочлена.

Рассмотрим, например, многочлен

Делители свободного члена: ; ; ;

Сумма всех коэффициентов многочлена равна , следовательно, число 1 не является корнем многочлена.

Сумма коэффициентов при четных степенях :

Сумма коэффициентов при нечетных степенях :

Следовательно, число -1 также не является корнем многочлена.

Проверим, является ли число 2 корнем многочлена: , следовательно, число 2 является корнем многочлена. Значит, по теореме Безу, многочлен делится без остатка на двучлен .

2. Как разделить многочлен на двучлен.

Многочлен можно разделить на двучлен столбиком.

Разделим многочлен на двучлен столбиком:

Есть и другой способ деления многочлена на двучлен - схема Горнера.

Посмотрите это видео, чтобы понять, как делить многочлен на двучлен столбиком, и с помощью схемы Горнера.

Замечу, что если при делении столбиком какая-то степень неизвестного в исходном многочлене отсутствует, на её месте пишем 0 - так же, как при составлении таблицы для схемы Горнера.

Итак, если нам нужно разделить многочлен на двучлен и в результате деления мы получаем многочлен , то коэффициенты многочлена мы можем найти по схеме Горнера:

Мы также можем использовать схему Горнера для того, чтобы проверить, является ли данное число корнем многочлена: если число является корнем многочлена , то остаток от деления многочлена на равен нулю, то есть в последнем столбце второй строки схемы Горнера мы получаем 0.

Используя схему Горнера, мы "убиваем двух зайцев": одновременно проверяем, является ли число корнем многочлена и делим этот многочлен на двучлен .

Пример. Решить уравнение:

1. Выпишем делители свободного члена, и будем искать корни многочлена среди делителей свободного члена.

Делители числа 24:

2. Проверим, является ли число 1 корнем многочлена.

Сумма коэффициентов многочлена , следовательно, число 1 является корнем многочлена.

3. Разделим исходный многочлен на двучлен с помощью схемы Горнера.

А) Выпишем в первую строку таблицы коэффициенты исходного многочлена.

Так как член, содержащий отсутствует, в том столбце таблицы, в котором должен стоять коэффициент при пишем 0. Слева пишем найденный корень: число 1.

Б) Заполняем первую строку таблицы.

В последнем столбце, как и ожидалось, мы получили ноль, мы разделили исходный многочлен на двучлен без остатка. Коэффициенты многочлена, получившегося в результате деления изображены синим цветом во второй строке таблицы:

Легко проверить, что числа 1 и -1 не являются корнями многочлена

В) Продолжим таблицу. Проверим, является ли число 2 корнем многочлена :

Так степень многочлена, который получается в результате деления на единицу меньше степени исходного многочлена, следовательно и количество коэффициентов и количество столбцов на единицу меньше.

В последнем столбце мы получили -40 - число, не равное нулю, следовательно, многочлен делится на двучлен с остатком, и число 2 не является корнем многочлена.

В) Проверим, является ли число -2 корнем многочлена . Так как предыдущая попытка оказалась неудачной, чтобы не было путаницы с коэффициентами, я сотру строку, соответствующую этой попытке:

Отлично! В остатке мы получили ноль, следовательно, многочлен разделился на двучлен без остатка, следовательно, число -2 является корнем многочлена. Коэффициенты многочлена, который получается в результате деления многочлена на двучлен в таблице изображены зеленым цветом.

В результате деления мы получили квадратный трехчлен , корни которого легко находятся по теореме Виета:

Итак, корни исходного уравнения :

{}

Ответ: {}

Несколько лет назад с удивлением узнала, что сегодня в школах (даже во многих физ-мат школах), на кружках, да и в случаях “репетирования’’ не учат делить полиномы, или многочлены, в столбик. Самое забавное при этом, что схему Горнера школьники знают и используют для деления полиномов. Похоже, считается, что деление в столбик слишком сложно для неокрепшего разума, а вот выучить наизусть табличку, которая позволяет делить на многочлен первой степени, ему вполне по силам. Естественно, никто при этом не заботится о том, чтобы школьники поняли, почему так можно делить. Чтобы восполнить вопиющий пробел в образовании таких ребят, привожу здесь метод деления полинома на полином столбиком, который на самом деле довольно прост и позволяет делить на полиномы произвольной степени.

Начнем с того, что для двух многочленов и ( не должен быть тождественно равным нулю) справедлива . Если же остаток нулевой, то говорят, что делится на без остатка.

А теперь давайте рассмотрим примеры: на них учиться делить полиномы проще.

Пример 1. Разделим на (обратите внимание, оба многочлена записаны по убыванию степеней ). Сначала запишу то, что должно получиться, а затем приведу объяснения, как это получить.

Сначала старший член делимого — это — поделим на старший член делителя, то есть на . Полученный результат, который равен , будет старшим членом частного. Теперь умножим делитель на этот многочлен (получим ) и вычтем полученный результат из делимого. Получим остаток . Старший член этого остатка, который равен снова поделим на старший член делителя, который равен , получим , что и будет вторым членом частного. Делитель, умноженный на этот член, вычитаем из первого остатка. Получаем второй остаток, который равен нулю. На этом процесс деления заканчивается.

Легко проверить, что

Вообще говоря, деление заканчивается, как только степень полученного остатка будет меньше (строго меньше!) степени делителя. Давайте рассмотрим еще один пример.

Пример 2. Поделим на .

Деление закончено, поскольку степень последнего остатка меньше степени делителя (), иначе говоря, старший член остатка не делится нацело на старший член делителя.

Проверка. Действительно, нетрудно убедиться в том, что

Деление «уголком» - это, на мой взгляд, самая тяжелая, самая нудная тема во всей школьной математике. Тут нам придется всерьез поднапрячься. Пусть, однако, нас вдохновляет мысль, что весь последующий материал будет значительно легче и приятнее.

Прежде всего, рассмотрим деление на однозначное число. Допустим, мы хотим вычислить значение выражения

Пользуясь свойствами умножения, мы можем расписать делимое таким образом:

6 ∙ 100 + 4 ∙ 10 + 8 =

3 ∙ 2 ∙ 100 + 2 ∙ 2 ∙ 10 + 4 ∙ 2 =

( 3 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 4 ) ∙ 2 =

3 2 4 ∙ 2 .

После этого становится очевидно, что частное от деления равно

Но это мы взяли самый что ни на есть простейший случай, когда каждую отдельно взятую цифру делимого можно поделить на делитель. А вот пример несколько посложнее:

Здесь первая цифра оказалась меньше делителя. Поэтому, расписывая делимое, мы не будем отрывать ее от второй цифры:

15 ∙ 10 + 6 .

Поскольку число 15 не делится нацело на 2, придется нам прибегнуть к делению с остатком. Представим результат такого деления в виде:

15 = 7 ∙ 2 + 1 = 14 + 1 .

Теперь мы можем продолжать расписывать наше делимое дальше:

15 ∙ 10 + 6 =

( 14 + 1 ) ∙ 10 + 6 =

14 ∙ 10 + 1 ∙ 10 + 6 =

14 ∙ 10 + 16 =

7 ∙ 2 ∙ 10 + 8 ∙ 2 =

( 7 ∙ 10 + 8 ) ∙ 2 =

7 8 ∙ 2 .

Отсюда моментально получаем ответ:

Такого рода расчеты можно проводить в уме и сразу же писать ответ. Но мы сейчас перепишем их в виде краткой таблицы. Умение составлять такие таблицы нам пригодится, когда мы займемся делением на многозначные числа, когда всё окажется не так просто. Делимое и делитель запишем так:

При делении первых двух разрядов ( 15 ) на двойку получается 7 плюс еще какой-то остаток. С этим остатком мы разберемся чуть позже, а пока запишем семерку под чертой снизу от делителя (здесь у нас со временем будет выписан полный ответ):

Умножаем на эту семерку наш делитель ( 2 ) и записываем ответ ( 14 ) под первыми двумя разрядами делимого ( 15 ):

Теперь настало время вычислить остаток от деления 15-ти на 2 . Он равен, очевидно,

15 − 2 ∙ 7 = 15 − 14 .

У нас уже всё подготовлено, чтобы выполнить это вычитание «столбиком»:

У нас получается единица , к которой мы приписываем шестерку из следующего разряда делимого:

В результате такого приписывания у нас получается число 16 . Мы делим его на наш делитеть ( 2 ) и получаем 8 . Эту восьмерку пишем в строке ответа, под чертой снизу от делителя:

Ответ мы получили, однако правила составления таблицы таковы, что нам надо добавить в нее еще две строки. Мы должны формальным образом убедиться, что не потеряли остаток от деления. Умножаем делитель ( 2 ) на последнюю цифру ответа ( 8 ), приписываем результат ( 16 ) снизу к нашей таблице в последние два разряда делимого:

Вычитаем последнюю строку из предпоследней и получаем 0:

Этот последний нуль есть не что иное, как остаток от деления, который образовался бы в том случае, если бы мы рассматривали деление с остатком:

156: 2 = 78 (ост. 0).

Чтобы получше это понять, возьмем похожий пример, в котором, однако, остаток не равен нулю:

157: 2 = 78 (ост. 1).

Таблица для этого примера выглядит так:

Здесь, опять-таки, остаток стоит в последней строке. Для полноты картины распишем наше делимое в таком виде:

14 ∙ 10 + 17 =

7 ∙ 2 ∙ 10 + 8 ∙ 2 + 1 =

( 7 ∙ 10 + 8 ) ∙ 2 + 1 =

7 8 ∙ 2 + 1

Теперь мы готовы к тому, чтобы делить (нацело или с остатком) на многозначные числа. Это делается при помощи подобной же таблицы (именно из-за ее особого вида данная процедура получила название деление «уголком» ). Допустим, требуется выполнить деление с остатком:

Приступаем к заполнению таблицы:

В данном случае, чтобы найти первую цифру частного, надо взять первые четыре цифры делимого ( 1356 ) и получившееся число поделить (с остатком) на делитель ( 259 ). Почему надо взять именно первые четыре цифры делимого? Потому что если бы мы взяли хотя бы на одну цифру меньше, то получившееся число ( 135 ) оказалось бы меньше делителя ( 259 ), а это совсем не то, из чего можно было бы извечь полезную информацию. Итак, возьмем первые четыре цифры делимого и рассмотрим следующее деление с остатком:

1356 : 259 = ?

Тут нам помогут приближенные вычисления, для которых, как мы знаем, вовсе необязательно, чтобы числа делились друг на друга нацело:

1356 / 259 ≈ 1356 / 300 ≈ 1500 / 300 = 15 / 3 = 5 .

Зная результат приближенного деления, мы можем предположить, что, скорее всего,

1356 : 259 = 5 (остаток - пока неважно какой).

Конечно, абсолютной уверенности у нас нет. Здесь вместо пятерки вполне может стоять четверка или шестерка , однако вряд ли мы ошиблись больше, чем на одну единицу. Имея это в виду, тем не менее берем эту пятерку и заносим ее в нашу таблицу в строку ответа. После этого умножаем на нее делитель ( 259 ) и при этом записываем ответ под делимым в подходящие разряды:

259 ∙ 5 =

Здесь «маленькие» цифры - это побочный продукт процедуры умножения: мы познакомились с ними, когда учились умножать «в столбик». После того как умножение выполнено, они становятся больше не нужны: на них можно просто не обращать внимания. Выражение 259 ∙ 5 , написанное слева от таблицы, помещено сюда только ради пояснения того, что мы делаем. К таблице оно, собственно, не принадлежит, и в будущем мы такие пояснения выписывать не будем. Тут важно отметить, что результат нашего умножения ( 1295 ) оказался меньше записанного над ним числа 1356 , составленного из первых четырех цифр делимого. Если бы это было не так, то это означало бы, что приближенное деление дало нам завышенный результат. Нам надо было бы тогда зачеркнуть пятерку в строке ответа, на ее место поставить четверку - после чего зачеркнуть и переделать все наши последующие вычисления. Но нам на этот раз повезло, и ничего переделывать не требуется.

Теперь выполняем вычитание в столбик и получаем:

259 ∙ 5 =

Внимательно приглядимся к полученной разности ( 61 ). Очень важно, что она оказалась меньше делителя ( 259 ). В противном случае мы пришли бы к выводу, что приближенное деление дало нам заниженный результат и нам пришлось бы теперь исправлять в строке ответа пятерку на шестерку , а также переделывать все последующие вычисления. К счастью, этого не случилось. Приближенное вычисление нас не подвело, и мы теперь совершенно точно знаем, что,

1356 : 259 = 5 (ост. 61 ).

Возвращаемся к таблице. К нашему остатку ( 61 ) приписываем семерку из следующего разряда делимого и приступаем к нахождению второй цифры ответа. Это делается с помощью точно такой же процедуры, что и раньше. Потом - очередь за третьей цифрой. В конце концов таблица принимает такой вид:

259 ∙ 5 =
259 ∙ 2 =
259 ∙ 3 =

Можно выписывать окончательный ответ:

135674: 259 = 523 (ост. 217).

Самая большая неприятность в делении «уголком» состоит в том, что приближенные вычисления, к которым приходится прибегать по ходу дела, не дают сразу гарантированно правильного результата и нуждаются иногда в последующей коррекции. Впрочем, по мере тренировки, у нас выработается особое чутье и мы будем уже сразу почти наверняка знать, какие цифры следует писать в строке ответа, чтобы потом ничего больше не надо было исправлять и переделывать.

Разумеется, нам будут попадаться случаи, когда частное содержит нули. Каждый такой нуль позволит сделать в таблице небольшие сокращения. Вот пример такой таблицы:

Как и в случае умножения «в столбик», для того чтобы было удобнее писать «маленькие» цифры, нам может понадобиться

Теперь остается только тренироваться, тренироваться и тренироваться.

Инструкция

Деление на однозначное число без остатка - самый простой случай для деления уголком. Для примера разделите 536 на 4. Для этого запишите их рядом на одной строчке, а чтобы не перепутать, поставьте между них . Под горизонтальной чертой будете частное или результат деления.

Сначала разделите первую цифру , то есть 5 на 4. Запишите под чертой 1, под пятеркой - четверку и вычтите из первой вторую. Разницу запишите внизу. Рядом напишите следующую цифру делимого, то есть 3. Получается 13. Разделите на 4, результат - тройку - пишите справа, а остаток опять снесите вниз. Перенесите к нему последнюю цифру первоначального числа, получится 16. Разделите на 4 и запишите четверку - последнюю цифру ответа. Получилось, что одна четвертая от 536 это 134.

Чтобы проверить результат перемножьте 134 и 4. Получится 536. Если не сработала, ищите ошибку в переносе цифр при уголком.

Деление круглых принципиально ничем не отличается. Только перед началом деления избавьтесь от лишних нулей. Под такими понимаются разряды, которые есть в обоих числах. Например, если надо разделить 371000 на 700, то перед делением уголком зачеркните последние два нуля в каждом числе. То есть делите 3710 на 7. Обязательно надо зачеркивать именно одинаковое число нулей, иначе результат окажется неверным.

При делении проделайте обратную операцию: добавьте порядков в делимое, чтобы их число соответствовало делителю. Например, если вы делите 5 на 16, то припишите один ноль. Если 5 надо разделить на 160, то припишите два нуля. Но при этом не забудьте поставить точку и же число нулей в частном. В первом случае начнется с десятых долей, во втором - с сотых. Другими словами, деление уголком - это простейший способ перевести дробь в десятичную.

Дробь представляет собой нецелое либо дополненное число , например 1/2 (=0,5) или 7,5/5 (=1,5). Иногда дробь может быть целым число м, например, 20/5 (=4), но тогда её запись не имеет того математического смысла, который вносится в дробь.

Инструкция

Для начала вспомните, что простая или может быть записана формате X / Y, где X – это числитель, а Y – знаменатель. Например, 1/4, или 0,25 в цифровой записи. Для удобства дальнейших вычислений рекомендуется записывать дробь вертикально: числитель, горизонтальная деления под ним, и знаменатель под полосой.Для деления числа на целую дробь, нужно представить число в виде . Так как число – это количество целых частей, то оно отправляется в знаменатель, а в числитель прописывается то, на что это количество частей делится для получения самого же себя – то есть, единица. 8 нужно записать как 8/1, а 263 – как 263/1, и так далее.

После этого вам нужно поделить число . Предположим, что вы имеете число 127 и дробь 4/15. Тогда операцию 127: 4/15 необходимо записать следующим образом:127/1: 4/15;

Получается трёхэтажная дробь, при которой среднее деление (деление дробей) необходимо умножением, а числитель и знаменатель перевернуть:127/1 * 15/4;

Пересчитав каждую дробь, вы получите следующее:127: 1 = 127
4: 15 = 0,2666…
127: 0,2666… = 476, 2500001 или 476 1/4.Результаты полностью совпадают.

Иногда натуральное число a не делится нацело на натуральное число b, то есть нет такого числа k, чтобы было верным равенство a = bk. В таком случае применяется так называемое деление с остатком .

Инструкция

Представьте себе ситуацию: Дед Мороз подарил шести ребятам 27 мандаринов. Они хотели разделить мандарины поровну, но этого им сделать не удалось, так как 27 на шесть не делится. Зато 24 делится на шесть. Каждому , таким образом, достается по 4 мандарина, и еще три мандарина остается. Эти три мандарина и есть остаток. В числе 27 содержится 4 раза по 6 да еще 3.

Число 27 здесь делимое, 6 – делитель, 4 – неполное частное, а 3 – остаток. Остаток всегда меньше делителя: 3<6. Ведь если бы мандаринов осталось больше, чем ребят, они бы могли бы и дальше делить их между до тех пор, пока мандаринов не осталось бы слишком мало для того, чтобы разделить их поровну.

Таким образом, если вам нужно разделить с -либо однозначное или двузначное число a на однозначное или двузначное число b, найдите число c, ближайшее к числу a (но не превышающее его), которое делилось бы на число b без . Остаток будет разнице между числом a и c.

Обратите внимание

Деление с остатком часто используется в языках программирования для создания контрольных чисел или в генераторе случайных чисел. Например, в Паскале операция mod вычисляет остаток от деления, а операция div осуществляет целочисленное деление, при котором остаток от деления отбрасывается. Интересно, что данная операция в языках программирования может давать отрицательный результат (если делимое или делитель - отрицательные числа).

Полезный совет

Чтобы найти делимое, надо умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток. 4 мандарина умножить на 6 детей плюс оставшиеся 3 мандарина равняется 27.

Источники:

• Интересная математика в 2019

Тема деления чисел является одной из самых ответственных в математической программе 5 класса. Без овладения этими знаниями невозможно дальнейшее изучение математики. Делить числа приходиться в жизни каждый день. И всегда полагаться на калькулятор не стоит. Чтобы разделить два числа, нужно запомнить определенную последовательность действий.

Вам понадобится

• Лист бумаги в клетку,
• ручка или карандаш

Инструкция

Запишите делимое и на одной строке. Разделите их вертикальной чертой высотой в две строки. Проведите горизонтальную черту под делителем и делимым перпендикулярно предыдущей черте. Справа под этой чертой будет записываться частное. Ниже и левее делимого, под горизонтальной чертой, запишите ноль.

Перенесите одну самую левую, но еще не переносившуюся цифру делимого вниз под последнюю горизонтальную черту. Пометьте перенесенную цифру делимого точкой.

Сравните число под последней горизонтальной чертой с делителем. Если число меньше делителя, то продолжите с шага 4, иначе перейдите к шагу 5.

Посмотрите, есть ли в делимом еще не переносившиеся цифры. Не переносившиеся цифры не помечены . Если такие цифры есть, то перейдите к шагу 2, иначе к шагу 7.

Вычислите следующий остаток. Помножьте делитель на последнюю цифру частного. Результат запишите со минус под числом, находящимся под последней горизонтальной чертой. Под записанным числом проведите следующую горизонтальную черту. Вычтите последнее записанное число из предпоследнего. Результат запишите под только что проведенной чертой. Перейдите к шагу 4.

Видео по теме

Обратите внимание

Иногда делитель представляет собой десятичную дробь. В этом случае, чтобы поделить числа нужно делитель предварительно привести к нормальному виду. Для этого в делимом и делителе переносится запятая вправо на тоже количество цифр, сколько есть в делителе после запятой. Затем числа можно делить, как обычно.